正弦定理与余弦定理的多种证明方法

关于正弦定理与余弦定理的多种证明方法

正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。余弦定理:三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。以下是小编为大家收集的关于正弦定理与余弦定理的证明方法的相关内容，供大家参考！

正弦定理与余弦定理的证明方法

利用三角形的面积公式证明正弦定理：

设三角形的外接圆半径为R，则三角形的面积S为：

S=1/2acsinB=1/2bcsinA=1/2absinC

由正弦定理可知：

sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R

将sinA、sinB、sinC代入面积公式得：

S=1/(4R2)acimes(a/2R)imes(b/2R)imes(c/2R)=abc/8R2

因为三角形的面积是定值，所以abc=8R^2，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。

利用余弦定理证明正弦定理：

设三角形的三边长分别为a、b、c，对应角分别为A、B、C，则有：

cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

将上述三个式子相乘得：

cosA×cosB×cosC=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)×(a^2+c^2-b^2)/(2ac)×(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

由于cosA、cosB、cosC的乘积是常数，因此可以得出：

a/sinA=b/sinB=c/sinC

余弦定理的证明方法有很多种，这里只列举其中一种：

余弦定理：在任意三角形ABC中，有a^2=b^2+c^2-2bc cos A。

证明：在三角形ABC中，作AD垂直于BC于D点。

在直角三角形ABD中，有：

cos A=(AD/AB)^2=(BD/AB)^2=(BC/AB)^2

所以，a^2=b^2+c^2-2bc cos A。

如何区分正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理都是解决三角形中缺失边长或角度的定理，但它们的应用场景和计算方式不同。 正弦定理适用于已知一个角和与其对应的两条边，求第三条边或另一个角的情况。其公式为：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，其中$a,b,c$为三角形的三条边，$A,B,C$为三角形的三个角度。 余弦定理适用于已知三角形的两条边和它们夹角，求第三条边或另一个角的情况。其公式为：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$，其中$a,b,c$为三角形的三条边，$C$为$a,b$两边夹角的度数。 因此，当已知一个角和与其对应的两条边时，应使用正弦定理;当已知三角形的两条边和它们夹角时，应使用余弦定理。

高中数学正弦定理公式

数学正弦定理公式：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R;余弦定理公式：cos A=(b?+c?-a?)/2bc。

正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

一、正弦定理推论公式

1、a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC。

2、a:b=sinA:sinB;a:c=sinA:sinC;b:c=sinB:sinC;a:b:c=sinA:sinB:sinC。

二、余弦定理推论公式

1、cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc;2、cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac;3、cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。

三、正弦定理的运用：

1、已知三角形的两角与一边，解三角形。

2、已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。

3、运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系。

四、余弦定理的运用：

1、当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

2、当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。

3、当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的面积。

正弦定理证明常见的四种方法

正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形中边长和对应角的正弦值之间的比例关系。

正弦定理的证明方法有很多种，以下是四种常见的证明方法：

方法一：利用三角形的面积公式

证明：设三角形的外接圆半径为R，则三角形的面积S为：

S=1/2acsinB=1/2bcsinA=1/2absinC

由正弦定理可知：

sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R

将sinA、sinB、sinC代入面积公式得：

S=1/(4R2)acimes(a/2R)imes(b/2R)imes(c/2R)=abc/8R2

因为三角形的面积是定值，所以abc=8R2，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。

方法二：利用余弦定理

证明：设三角形的三边长分别为a、b、c，对应角分别为A、B、C，则有：

cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

将上述三个式子相乘得：

cosA×cosB×cosC=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)×(a^2+c^2-b^2)/(2ac)×(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

由于cosA、cosB、cosC的乘积是常数，因此可以得出：

a/sinA=b/sinB=c/sinC

方法三：利用向量数量积

证明：设三角形的三边长分别为a、b、c，对应角分别为A、B、C，则有：

向量BA与向量BC的数量积为：

|BA|×|BC|×cosB=(|AB|×|AC|)×cos(π-A)

由于cosB和cos(π-A)都不为0，因此可以得出：

|BA|/|BC|=|AC|/|AB|=sinA/sinC

同理可以得出：

|BA|/|AB|=sinB/sinA

|BC|/|AC|=sinC/sinB

因此可以得出：

a/sinA=b/sinB=c/sinC

方法四：利用正弦定理的推论

证明：由正弦定理可知，在任意三角形ABC中，有：

a=2RimessinA

b=2RimessinB

c=2RimessinC

所以可以得出：

a/sinA=b/sinB=c/sinC

高中数学大题解题方法与技巧

一、三角函数题

注意归一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很容易因为粗心，导致错误!一着不慎，满盘皆输!)。

二、数列题

1.证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;

2.最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证;

3.证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单(所以要有构造函数的意识)。

三、立体几何题

1.证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单;

2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，要建系;

3.注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题)。

四、概率问题

1.搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数;

2.搞清是什么概率模型，套用哪个公式;

3.记准均值、方差、标准差公式;

4.求概率时，正难则反(根据p1+p2+...+pn=1);

5.注意计数时利用列举、树图等基本方法;

6.注意放回抽样，不放回抽样;

7.注意“零散的”的知识点(茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等)在大题中的渗透;

8.注意条件概率公式;

9.注意平均分组、不完全平均分组问题。

高考数学复习方法有哪些

一、夯实基础知识

高考数学题中容易题、中等题、难题的比重为3：5：2，即基础题占80%，难题占20%。

无论是一轮、二轮，还是三轮复习都把“三基”即基础知识、基本技能、基本思想方法作为重中之重，死握一些难题的做法非常危险!也只有“三基”过关，才有能力去做难题。

二、建构知识网络

数学教学的本质，是在数学知识的教学中，把大量的数学概念、定理、公式等陈述性知识，让学生在主动参与、积极构建的基础上，形成越来越有层次的数学知识网络结构，使学生体验整个学习过程中所蕴涵的数学思想、数学方法，形成解决问题的产生方式，因此，在高考复习中，在夯实基础知识的基础上，把握纵横联系，构建知识网络。在加强各知识块的联系之后，抓主干知识，理清框架。

三、注重通性通法

近几年的高考题都注重对通性通法的考查，这样避开了过死、过繁和过偏的题目，解题思路不依赖特殊技巧，思维方向多、解题途径多、方法活、注重发散思维的考查。在复习中千万不要过多“玩技巧”，过多的用技巧，会使成绩好的学生“走火入魔”，成绩差的学生“信心尽失”。