三角函数单调性数学教案

函数的单调性也可以叫做函数的增减性。当函数f 的自变量在其定义区间内增大时，函数值f也随着增大，则称该函数为在该区间上具有单调性。下面是小编为大家整理的三角函数单调性数学教案5篇，希望大家能有所收获!

三角函数单调性数学教案1

教学准备

教学目标

1、知识与技能

(1)了解周期现象在现实中广泛存在;(2)感受周期现象对实际工作的意义;(3)理解周期函数的概念;(4)能熟练地判断简单的实际问题的周期;(5)能利用周期函数定义进行简单运用。

2、过程与方法

通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象;从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义;根据周期性的定义，再在实践中加以应用。

3、情感态度与价值观

通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。

教学重难点

重点:感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。

难点:周期函数概念的理解，以及简单的应用。

教学工具

投影仪

教学过程

【创设情境，揭示课题】

同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。(板书课题)

【探究新知】

1.我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片(投影图片)，注意波浪是怎样变化的?可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。请你举出生活中存在周期现象的例子。(单摆运动、四季变化等)

(板书：一、我们生活中的周期现象)

2.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：

①如何理解“散点图”?

②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么?

③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”?

④对于周期函数的定义，你的理解是怎样?

以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T;x必须是定义域内的任意值;f(x+T)=f(x)。

(板书：二、周期函数的概念)

3.[展示投影]练习:

(1)已知函数f(x)满足对定义域内的任意x，均存在非零常数T，使得f(x+T)=f(x)。

求f(x+2T)，f(x+3T)

略解：f(x+2T)=f[(x+T)+T]=f(x+T)=f(x)

f(x+3T)=f[(x+2T)+T]=f(x+2T)=f(x)

本题小结，由学生完成，总结出“周期函数的周期有无数个”，教师指出一般情况下，为避免引起混淆，特指最小正周期。

(2)已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)=2005,求f(11)

略解：f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=2005

(3)已知奇函数f(x)是R上的函数，且f(1)=2，f(x+3)=f(x)，求f(8)

略解：f(8)=f(2+2×3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2

【巩固深化，发展思维】

1.请同学们先自主学习课本P4倒数第五行——P5倒数第四行，然后各个学习小组之间展开合作交流。

2.例题讲评

例1.地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y是时间t的函数吗?如果是，这个函数

y=f(t)是不是周期函数?

例2.图1-4(见课本)是钟摆的示意图，摆心A到铅垂线MN的距离y是时间t的函数，y=g(t)。根据钟摆的知识，容易说明g(t+T)=g(t),其中T为钟摆摆动一周(往返一次)所需的时间，函数y=g(t)是周期函数。若以钟摆偏离铅垂线MN的角θ的度数为变量，根据物理知识，摆心A到铅垂线MN的距离y也是θ的周期函数。

例3.图1-5(见课本)是水车的示意图，水车上A点到水面的距离y是时间t的函数。假设水车5min转一圈，那么y的值每经过5min就会重复出现，因此，该函数是周期函数。

3.小组课堂作业

(1)课本P6的思考与交流

(2)(回答)今天是星期三那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期几?7k(k∈Z)天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?

五、归纳整理，整体认识

(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?

(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?

六、布置作业

1.作业：习题1.1第1,2,3题.

2.多观察一些日常生活中的周期现象的例子，进一步理解它的特点.

课后小结

归纳整理，整体认识

(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?

(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?

课后习题

作业

1.作业：习题1.1第1,2,3题.

2.多观察一些日常生活中的周期现象的例子，进一步理解它的特点.

板书

略

三角函数单调性数学教案2

教学准备

教学目标

1、知识与技能

(1)理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、(小)值、单调性、奇偶性;

(2)能熟练运用正弦函数的性质解题。

2、过程与方法

通过正弦函数在R上的图像，让学生探索出正弦函数的性质;讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、情感态度与价值观

通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力;让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心;使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经;培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

教学重难点

重点:正弦函数的性质。

难点:正弦函数的性质应用。

教学工具

投影仪

教学过程

【创设情境，揭示课题】

同学们，我们在数学一中已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的几个角度，你还记得有哪些吗?在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的y=sinx在R上图像，下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质?

【探究新知】

让学生一边看投影，一边仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下几个问题：

(1)正弦函数的定义域是什么?

(2)正弦函数的值域是什么?

(3)它的最值情况如何?

(4)它的正负值区间如何分?

(5)?(x)=0的解集是多少?

师生一起归纳得出：

1.定义域：y=sinx的定义域为R

2.值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|≤1(有界性)

再看正弦函数线(图象)验证上述结论，所以y=sinx的值域为[-1，1]

三角函数单调性数学教案3

教学目标

会运用图象判断单调性;理解函数的单调性，能判断或证明一些简单函数单调性;注意必须在定义域内或其子集内讨论函数的单调性。

重 点

函数单调性的证明及判断。

难 点

函数单调性证明及其应用。

一、复习引入

1、函数的定义域、值域、图象、表示方法

2、函数单调性

(1)单调增函数

(2)单调减函数

(3)单调区间

二、例题分析

例

1、画出下列函数图象，并写出单调区间：

(1) (2) (2)

例

2、求证：函数 在区间 上是单调增函数。

例

3、讨论函数 的单调性，并证明你的结论。

变(1)讨论函数 的单调性，并证明你的结论

变(2)讨论函数 的单调性，并证明你的结论。

例

4、试判断函数 在 上的单调性。

三、随堂练习

1、判断下列说法正确的是 。

(1)若定义在 上的函数 满足 ，则函数 是 上的单调增函数;

(2)若定义在 上的函数 满足 ，则函数 在 上不是单调减函数;

(3)若定义在 上的函数 在区间 上是单调增函数，在区间 上也是单调增函数，则函数 是 上的单调增函数;

(4)若定义在 上的函数 在区间 上是单调增函数，在区间 上也是单调增函数，则函数 是 上的单调增函数。

2、若一次函数 在 上是单调减函数，则点 在直角坐标平面的( )

A.上半平面 B.下半平面 C.左半平面 D.右半平面

3、函数 在 上是___ ___;函数 在 上是__ _____。

3.下图分别为函数 和 的图象，求函数 和 的单调增区间。

4、求证：函数 是定义域上的单调减函数。

四、回顾小结

1、函数单调性的判断及证明。

课后作业

一、基础题

1、求下列函数的单调区间

(1) (2)

2、画函数 的图象，并写出单调区间。

二、提高题

3、求证：函数 在 上是单调增函数。

4、若函数 ，求函数 的单调区间。

5、若函数 在 上是增函数，在 上是减函数，试比较 与 的大小。

三、能力题

6、已知函数 ，试讨论函数f(x)在区间 上的单调性。

变(1)已知函数 ，试讨论函数f(x)在区间 上的单调性。

三角函数单调性数学教案4

教学目标

1.使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性. 2.通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力.通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力.

3.通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育.

教学重点与难点

教学重点：函数单调性的概念. 教学难点：函数单调性的判定.

教学过程设计

一、引入新课

师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么?

(用投影幻灯给出两组函数的图象.) 第一组：

第二组：

生：第一组函数，函数值y随x的增大而增大;第二组函数，函数值y随x的增大而减小.

师：(手执投影棒使之沿曲线移动)对.他(她)答得很好，这正是两组函数的主要区别.当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小.虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质.我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质.而这些研究结论是直观地由图象得到的.在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容.

(点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意.)

二、对概念的分析

(板书课题：函数的单调性)

师：请同学们打开课本第51页，请__同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍.

(学生朗读.)

师：好，请坐.通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致?如果一致，定义中是怎样描述的?

生：我认为是一致的.定义中的“当增大而增大;“当

时，都有

时，都有

”描述了y随x的

”描述了y随x的增大而减少.

”和“

或师：说得非常正确.定义中用了两个简单的不等关系“”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质.这就是数学的魅力!

(通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣.) 师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数图象，体会这种魅力.

和

的

(指图说明.) 师：图中因此而图中因此对于区间[a，b]上的任意，，当

时，都有，的单调增区间;，的单调减区间. 在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数对于区间[a，b]上的任意，，当时，都有在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数(教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解.渗透数形结合分析问题的数学思想方法.)

师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应„„ (不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师.) 生：较大的函数值的函数. 师：那么减函数呢?

生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数. (学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整.) 师：好.我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义?

(学生思索.)

学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念(或定义)，能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环.因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力.

(教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气.在学生感到无从下手时，给以适当的提示.)

生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语.

师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同.增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性.请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的?为什么?

生：不能.因为此时函数值是一个数.

师：对.函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数(注意这四个字“唯一确定”)，因而没有增减的变化.那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢?你能否举一个我们学过的例子?

生：不能.比如二次函数而我们不能说

，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数.因是增函数或是减函数.

的图像，从“形”上感知.) (在学生回答问题时，教师板演函数师：好.他(她)举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”.这说明函数的单调性是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数.因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间.

师：还有没有其他的关键词语?

生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语. 师：你答的很对.能解释一下为什么吗? (学生不一定能答全，教师应给予必要的提示.) 师：“属于”是什么意思? 生：就是说两个自变量生：可以.

师：那么“任意”和“都有”又如何理解?

生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要，就必须都小于，或都大于.，

必须取自给定的区间，不能从其他区间上取.师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点?师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢? (让学生思考片刻.) 生：可以构造一个反例.考察函数，定，显然，而，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值，，有，若由此判是[-2，2]上的减函数，那就错了. 师：那么如何来说明“都有”呢? 生：在[-2，2]上，当，这时就不能说，时，有;当，时，有，在[-2，2]上是增函数或减函数.

师：好极了!通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f(x)在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量，，根据它们的函数值和的大小来判定函数的增减性.

(教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解.在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力.)

师：反过来，如果我们已知f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小.即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立.这恰是辩证法中一般和特殊的关系.

(用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力.)

三、概念的应用

例1 图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f(x)的图象，根据图象说出f(x)的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f(x)是增函数还是减函数?

(用投影幻灯给出图象.)

生甲：函数y=f(x)在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f(x)的单调减区间;在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f(x)的单调增区间.

生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f(x)的单调减区间，那么，是否可认为(-5，-2)也是f(x)的单调减区间呢? 师：问得好.这说明你想的很仔细，思考问题很严谨.容易证明：若f(x)在[a，b]上单调(增或减)，则f(x)在(a，b)上单调(增或减).反之不然，你能举出反例吗?一般来说.若f(x)在[a，b]上单调(增或减)，且[](增或减).反之不然.

例2 证明函数f(x)=3x+2在(-∞，+∞)上是增函数.

师：从函数图象上观察函数的单调性固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径.

(指出用定义证明的必要性.)

师：怎样用定义证明呢?请同学们思考后在笔记本上写出证明过程.

(教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演.学生可能会对如何比较和的大小关系感到无从入手，教师应给以启发.) 师：对于和

我们如何比较它们的大小呢?我们知道对两个实数a，b，如果，][a，b]，则f(x)在[，a>b，那么它们的差a-b就大于零;如果a=b，那么它们的差a—b就等于零;如果a<b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立.因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系.< p="">

生：(板演)设，是(-∞，+∞)上任意两个自变量，当，所以f(x)是增函数.

师：他的证明思路是清楚的.一开始设设，是(-∞，+∞)内任意两个自变量，并时，

(边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”)，然后看，这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”(同上，划线并标注”②→作差，变形”).但美中不足的是他没能说明为什么

<0，没有用到开始的假设“”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号.应写明“因为x1<x2，所以，从而<0，即.”这一步可概括为“定符号”(在黑板上板演，并注明“③→定符号”).最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”(在相应位置标注“④→下结论”).< p="">

这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住.需要指出的是第二步，如果函数y=f(x)在给定区间上恒大于零，也可以

小.

(对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势.在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的.)

调函数吗?并用定义证明你的结论.

师：你的结论是什么呢?

上都是减函数，因此我觉得它在定义域(-∞，0)∪(0，+∞)上是减函数. 生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义.比如取x1∈(-∞，0)，取x2∈(0，+∞)，，显然有，而不是显然成立，而，，因此它不是定义域内的减函数.

生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在(-∞，0)和(0，+∞)上都是减函数.

域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在(-∞，0)和(0，+∞)每一个单调区间内都是减函数.因此在函数的几个单调增(减)区间之间不要用符号“∪”连接.另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间.

上是减函数.

(教师巡视.对学生证明中出现的问题给予点拔.可依据学生的问题，给出下面的提示： (1)分式问题化简方法一般是通分. (2)要说明三个代数式的符号：k，，.

要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变.

对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视.)

四、课堂小结

师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的? (请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示.)

生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语;在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接;最后在用定义证明函数的单调性时，应该注意证明的四个步骤.

五、作业1.课本P53练习第1，2，3，4题.数..(_)+b>0.由此可知(_)式小于0，即.课堂教学设计说明函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质.并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用.对学生来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质.学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味.因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理.

另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点.因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用.

还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助.另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫.

三角函数单调性数学教案5

函数单调性是学生进入高中后较早接触到的一个完全形式化的抽象定义，对于仍然处于经验型逻辑思维发展阶段的高一学生来讲，有较大的学习难度。一直以来，这节课也都是老师教学的难点。最近，在我区“青年教师评优课”上，听了多名教师对这节课不同风格的课堂教学，通过对他们教学案例的研究和思考，笔者认为，在函数单调性概念的教学中，关键是把握住如下三个关键点。

关键点1。学生 学习函数单调性的认知基础是什么?

在这个内容之前，已经教学过一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数，函数的变量定义和映射定义，以及函数的表示。对函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念，也已经形成初步认识。接踵而来的任务是对函数应该继续研究什么。在数学研究中，建立一个数学概念的意义就是揭示它的本质特征，即共同属性或不变属性。对各种函数模型而言，就是研究它们所描述的运动关系的变化规律，也就是这些运动关系在变化之中的共同属性或不变属性，即“变中不变”的性质。按照这种科学研究的思维方式，使得当前来讨论函数的一些性质，就成为顺理成章的、必要的和有意义的数学活动。至于在多种函数性质中，选择这个时机来讨论函数的单调性而不是其他性质，是因为函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质。

就中小学生与单调性相关的经历而言，学生认识函数单调性可以分为四个阶段： 第一阶段，经验感知阶段(小学阶段)，知道一个量随另一个量的变化而变化的具体情境，如“随着年龄的增长，我的个子越来越高”，“我认识的字越多，我的知识就越多”等。

第二阶段，形象描述阶段(初中阶段)，能用抽象的语言描述一个量随另一个量变化的趋势，如“y随着x的增大而减少”。

第三阶段，抽象概括阶段(高中必修1)，能进行脱离具体和直观对象的抽象化、符号化的概括，并通过具体函数，初步体会单调性在研究函数变化中的作用。

第四阶段，认识提升阶段(高中选修系列

1、2)，要求学生能初步认识导数与单调性的联系。

基于上述认识，函数单调性教学的引入应该从学生的已有认知出发，建立在学生初中已学的一次函数、二次函数以及反比例函数的基础上，即从学生熟悉的常见函数的图象出发，直观感知函数的单调性，完成对函数单调性定义的第一次认识.。

让学生分别作出函数数值有什么变化规律?

的图象，并且观察自变量变化时，函在学生画图的基础上，引导学生观察图象，获得信息：第一个图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大;第二个图象从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小.然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数. 第三个函数图象的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的.

在此基础上，教师引导学生用自己的语言描述增函数的定义： 如果函数在某个区间上的图象从左向右逐渐上升，或者如果函数

在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数.

关键点2。为什么要用数学的符号语言定义函数的单调性概念?

对于函数单调性概念的教学而言，有一个很重要的问题，即为什么要进一步形式化。学生在初中已经接触过一次函数、反比例函数、二次函数，对函数的增减性已有初步的认识：随x增大y增大是增函数，随x增大y 减小是减函数。这个观念对他们而言是易于接受的，很形象，他们会觉得这样的定义很好，为什么还要费神去进行符号化呢?如果教师能通过教学设计，让学生感受到进一步符号化、形式化的必要性，造成认知冲突，则学生研究的兴趣就会大大提高，主动性也会更强。其实，数学概念就是一系列常识不断精微化的结果，之所以要进一步形式化，完全是数学精确性、严密性的要求，因为只有达到这种符号化、形式化的程度，才可以进行准确的计算，进行推理论证。

所以，在教学中提出类似如下的问题是非常必要的：

右图是函数函数吗?

的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减

对于这个问题，学生的困难是难以确定分界点的确切位置.通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究,使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性，从而将函数的单调性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式. 关键点3：如何用形式化的语言定义函数的单调性?

从数学学科这个整体来看，数学的高度抽象性造成了数学的难懂、难教、难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律：在需要和可能的情况下，尽量做到从直观入手，从具体开始，逐步抽象，即数学的思考方式。恰当运用图形语言、自然语言和符号化的形式语言，并进行三者之间必要的转化，可以说，这是学习数学的基本思考方式。而函数单调性这一内容正是体现数学基本思考方式的一个良好载体，教学中应该充分关注到这一点。长此以往，便可使学生在学习知识的同时，学到比知识更重要的东西—学会如何思考?如何进行数学的思考?

一般说，对函数单调性的建构有两个重要过程，一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述。对函数单调性的意义，学生通过对若干函数图象的观察并不难认识，因此，前一过程的建构学习相对比较容易进行。后一过程的进行则有相当的难度，其难就难在用数学的符合语言来描述函数单调性的定义时，如何才能最大限度地通过学生自己的思维活动来完成。这其中有两个难点：

(1)“x增大”如何用符号表示;同样，“f(x)增大”如何用符号表示。 (2)“‘随着’x增大，函数f(x)‘也’增大”，如何用符号表示。

用数学符号描述这两种数学意义的最大要害之处，在于要用数学的符号来描述动态的数学对象。

在初中数学中，除了学习函数的初级概念，用y=f(x)表示函数y随着自变量x的变化而变化时，接触到一点动态数学对象的数学符号表示以外，绝大多数都是用数学符号表示静态的数学对象。因此，从用静态的数学符号描述静态的数学对象，到用静态的符号语言刻画动态数学对象，在思维能力层次上存在重大差异，对刚刚由初中进入高中学习的学生而言，无疑是一个很大的挑战!

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